GS Ngô Bảo Châu nói chuyện về phương pháp giải toán và làm toán

Mọi người hay hỏi tôi “Bí quyết giải toán như thế nào, phương pháp giải toán như thế nào?”. Từ xưa đến nay tôi đều không có câu trả lời, vì tôi nghĩ là toán không có bí quyết, không có phương pháp, mỗi người thì cứ chăm chỉ học hành là được. Thế nhưng thực ra như vậy thì cũng không đúng hẳn, vì phương pháp là có, nhưng để phát biểu một cách rành rọt phương pháp của mình là như thế nào thì hoàn toàn không dễ, không dễ một chút nào. Thì để làm cái việc đó, tôi đọc một quyển sách rất là kinh điển của ông George Pólya viết từ năm 1944, tức là đã 70 năm rồi. Quyển sách đó tên là “How to solve it”.

Giáo sư Ngô Bảo Châu

Quyển sách này đã được dịch ra tiếng Việt từ rất lâu. Tôi nhớ hồi bé tôi đã đọc bản dịch cuốn sách này với tên là “Giải một bài toán như thế nào” do Nhà xuất bản Giáo dục phát hành và đã in lại rất nhiều lần. Theo tôi hiểu thì tới nay vẫn đamg có nhiều giáo viên dạy toán vẫn đọc quyển sách này. Tôi nghĩ quyển sách này thực sự là bổ ích, đặc biệt là cho các giáo viên dạy toán. Có lẽ là các bạn học sinh đọc thì sẽ thấy hơi tẻ. Tôi nhớ khi còn là học sinh thì tôi đã đọc quyển sách này và thấy không thích lắm. Bởi vì nó hơi tẻ nhạt, nó không có gì đặc biệt lắm, không có gì làm mình ngạc nhiên cả, tất cả đều có vẻ như là hiển nhiên. Thế nhưng bây giờ khi đọc lại thì tôi thấy quyển sách này viết rất hay, tuy rằng có một số điểm thì tôi thấy cũng không hoàn chỉnh, tôi nghĩ là một số điểm có thể đào sâu hơn. Có lẽ việc này xuất phát từ chuyện mỗi người có một cách làm toán riêng, mỗi người lại phải đặc biệt đối chọi với những dạng toán khác nhau. Thế vì vậy hiển nhiên là ông Pólya trình bày quyển sách này thuần túy dựa theo kinh nghiệm làm toán riêng của ông ấy.

Những điều tôi định trình bày ở đây với các bạn sẽ dựa theo cái khung chính của ông Pólya. Dựa vào cái khung đó tôi sẽ trình bày cái quan điểm riêng của tôi, tôi sẽ cố gắng phát biểu những trải nghiệm của tôi trong quá trình làm toán, theo phong cách đơn sơ nhất, có thể chưa tuyệt đối chính xác, nhưng sẽ là điều tốt nhất tôi có thể làm được. Điều mà tôi hi vọng là mỗi người trong số các bạn có thể phát biểu và chia sẻ những kinh nghiệm làm toán của mình như thế nào, không nhất thiết phải cái gì trừu tượng lắm đâu, nên chia sẻ một cái kinh nghiệm nào đó, một bài toán mà các bạn đã từng phải lao tâm khổ tứ giải nó, có một cái kỉ niệm gì đó, có một trải nghiệm gì đấy, các bạn muốn chia sẻ con đường mà các bạn đã đi tìm lời giải bài toán đó như thế nào, thì tôi nghĩ những cái kinh nghiệm như vậy rất là đáng quý.

Bốn giai đoạn giải một bài toán (Pólya)

Quay lại quyển sách của nhà toán học Pólya. Quyển sách được viết tương đối đơn giản. Ngay ở phần đầu, Pólya đã chia quá trình làm toán thành bốn giai đoạn. Theo tôi nghĩ thì bốn giai đoạn này là hoàn toàn chính xác, và là chung đối với tất cả mọi người, không có ai khác cả. Bốn giai đoạn đó là:

1) Hiểu vấn đề.
2) Lên kế hoạch để giải quyết vấn đề.
3) Sau khi lên kế hoạch thì tất nhiên phải thực hiện kế hoạch.
4) Và cuối cùng, sau khi thực hiện kế hoạch và giải quyết xong vấn đề thì một việc cũng không kém phần quan trọng là nhìn lại vấn đề.

Khi nhìn thấy một sơ đồ như thế này thì có thể bạn sẽ hơi thất vọng, vì nó không có gì đặc biệt cả, tất nhiên ai cũng biết là khi giải toán thì đầu tiên phải hiểu vấn đề, trước khi làm gì thì cũng phải lên kế hoạch, rồi thực hiện kế hoạch đó, cuối cùng thì phải xem xét và tổng kết lại. Nhưng mà cái chính là, chúng ta sẽ phải tìm hiểu chính xác xem là trong từng giai đoạn một thì cụ thể ta phải làm những gì. Chẳng hạn, thế nào là “hiểu vấn đề”?

Thế nào là “hiểu vấn đề”? Có thể chúng ta cho rằng là đọc đầu bài, hiểu đầu bài, tìm ra phương trình cần giải, tìm ra mệnh đề cần chứng minh là ta hiểu vấn đề. Thế nhưng mà Pólya đã đưa ra một số quy tắc để làm sao có thể nói là chúng ta đã “thực sự hiểu vấn đề”. Các quy tắc của Pólya rất đơn giản, tôi sẽ lần lượt đề cập dưới đây.

Điều đầu tiên, trong một bài toán, bao giờ cũng có những tham số, vậy tham số trong bài toán đặt ra là gì? Và ẩn số, tức là điều cần tìm trong một bài toán nữa, đó là gì?

Câu hỏi thứ nhất là: tham số là gì?
Câu hỏi thứ hai là: ẩn số là gì?

Pólya phân loại các bài toán thành hai dạng: dạng thứ nhất là tìm ra đáp số, khi đó ta có tham số và ẩn số; dạng thứ hai là chứng minh, thì một cách tương đương, ta có giả thiết và kết luận. Thực sự nghe qua hai câu hỏi như thế này thì ta tưởng rằng là mọi việc vừa là hiển nhiên vừa không còn gì để nói nữa. Nhưng vấn đề thực ra không hiển nhiên như vậy.

Quy tắc tiếp theo mà Pólya đưa ra mà tôi thấy rất quan trọng, đó là:

Câu hỏi thứ ba: làm sao loại trừ hoàn toàn những gì không rõ ràng trong phát biểu bài toán?

Ở dưới đây tôi sẽ đưa ra một vài ví dụ cụ thể để phân tích kĩ hơn thế nào là loại trừ những gì không rõ ràng. Loại trừ ở đây không đơn thuần là vì ta chỉ muốn cố làm cho bài toán rõ hơn, mà nhiều khi những sự không rõ ràng trong cách phát biểu ấy lại có thể chính là thứ thuộc về bản chất của bài toán mà ta không biết trước. Khi đó ta phải đưa ra được những “cấu trúc toán học” để theo một cách nào đó biến được những cái không rõ ràng, những cái mập mờ đó thành những cái tham số cụ thể. Đây sẽ là chìa khóa cơ bản để dẫn dắt chúng ta đến với việc giải quyết được nhiều bài toán khó.

Trước hết thử nghĩ về câu hỏi “tham số là gì”. Thế thì trong quyển sách của Pólya có đưa ra một ví dụ khá là thú vị, và cũng rất là đơn giản thôi. Bài toán như thế này:

Cho một hình hộp vuông (tất cả các cạnh đều vuông góc với nhau) với ba cạnh có độ dài lần lượt là 3,4,7. Câu hỏi là tìm độ dài đường chéo hình hộp.

Nói chung các bạn làm toán sẽ tìm ngay ra lời giải không khó khăn gì. Nhưng nếu như giả sử ta không giỏi toán lắm, thì ta sẽ suy nghĩ như thế nào? Thứ nhất, ta có thể “thấy” ngay rằng hiển nhiên các số 3,4,7 hoàn toàn không đóng vai trò gì cả. Ngay đầu tiên, bạn sẽ có “cảm giác” bài toán của ta không phụ thuộc vào các số 3,4,7, bạn có thể thay 3,4,7 bằng số nào cũng được. Nếu như các bạn tìm được lời giải với 3,4,7, thì bạn cũng tìm được lời giải với các số khác. Thế tức là ta phải “tham số hóa” bài toán, biến 3,4,7 thành các số a,b,c bất kỳ. Thế thì đấy là cái điểm thứ nhất. Sau đó, khi mà ta đã tham số hóa được 3,4,7, thì bước tiếp theo là ta tổng quát hóa bài toán lên, tức là phát biểu bài toán với các tham số a,b,c bất kỳ.

Khi đó ta nhận ra ngay một điều thú vị, tức là lời giải không phụ thuộc gì vào thứ tự của a,b,c. Nghĩa là khi tráo đổi thứ tự của a,b,c thì độ dài đường chéo hình hộp không đổi, nghĩa là lời giải của ta cũng phải không đổi, tức là lời giải (nếu có) phải có tính đối xứng.

Bước tiếp theo, là ta thử biến thiên các biến, vậy ta có thể làm “suy biến” một biến, chẳng hạn cho c = 0, tức là khi đó hình hộp vuông chỉ còn là một hình chữ nhật trên mặt phẳng với hai cạnh là a và b, đường chéo của nó, theo định lý Pythagore mà chúng ta đã biết, sẽ có độ dài là . Như vậy lời giải trong trường hợp đặc biệt (a,b,0) sẽ là . Mà lời giải đó lại phải có tính đối xứng theo cả ba biến a,b,c, như thế thì hiển nhiên cái lời giải duy nhất “có vẻ hợp lý” mà bạn có sẽ phải là .

Thế thì tức là chỉ thuần túy suy luận trên các tham số, dựa trên các suy biến có thể, các đối xứng có thể, là bạn có thể “suy diễn” ra được một “lời giải khả dĩ”, hoàn toàn không phải chứng minh gì cả. Nhưng mà theo tôi nghĩ đấy lại là một phương pháp vô cùng cơ bản trong việc làm toán. Trong khi làm toán, không phải lúc nào, hầu như không bao giờ ta có thể tìm ra cách chứng minh ngay lập tức được. Chúng ta sẽ phải suy diễn liên tục, cái gì là câu trả lời có thể, cái gì là câu trả lời có thể. Một cách vô cùng lợi hại là làm việc trên tham số. Khi một bài toán được đặt ra, bạn phải ngay lập tức đặt ra câu hỏi là với tham số nào thì bài toán có ý nghĩa. Rõ ràng trong bài toán tính độ dài đường chéo hình hộp thì chỉ khi độ dài các cạnh hình hộp được cho tùy ý thì bài toán mới có ý nghĩa.

Đối với một bài toán chứng minh điều gì đó, thì bạn phải tìm hiểu tiếp là với tham số nào thì bài toán có ý nghĩa, và “với tham số nào thì bài toán có khả năng là đúng”, có thể mọi chuyện sẽ hơi khác tình huống ở trên một chút, tôi sẽ không đi vào bước tiếp theo này. Ở đây tôi chỉ nhấn mạnh là bạn phải hết sức sử dụng tối đa các tham số của bài toán, biến thiên các tham số để quan sát và suy diễn, đây luôn là một phương pháp vô cùng mạnh trong toán học. Nếu biết biến thiên tham số một cách đúng đắn thì bạn sẽ có thể đến rất gần lời giải của bài toán.

Thế còn đối với câu hỏi “ẩn số là gì”, thì tôi sẽ phân tích một ví dụ kinh điển dưới đây để thấy được tại sao việc nhận ra ẩn số của một bài toán là gì lại cũng hoàn toàn không hiển nhiên, hay là nói khác đi, trong phát biểu của bài toán thì có vẻ hiển nhiên, nhưng thực ra nó lại không hiển nhiên đến thế, đấy có thể lại cũng chính là “điều không rõ ràng trong phát biểu của bài toán” mà chúng ta cần phải tìm cách loại bỏ hoàn toàn.

Giải phương trình đại số

Một ví dụ kinh điển trong toán học mà bản thân tôi quả thực là sau khi đã học và nghiên cứu đi nghiên cứu lại bài toán đó rất nhiều mà cũng không thấy chán, là bài toán giải phương trình đại số: “khi nào thì giải được một phương trình đại số bằng căn thức?”.

Chẳng hạn, với phương trình đại số bậc 2 có dạng  , bạn biết hai nghiệm của phương trình này có dạng với biệt thức . Có những lúc bạn sẽ không nhớ được chính xác công thức này, nhưng chỉ cần có giấy bút thì ngồi tính toán lại một lúc, bạn sẽ có thể tìm lại nó. Nhưng đối với phương trình đại số bậc 3 thì tôi cam đoan rằng sẽ có vô cùng ít bạn có thể ngồi và tìm ra lời giải. Có thể bạn sẽ đọc được trong sách lời giải của nó như thế nào, nhưng để tự mày mò và tìm ra lời giải thì đó là cả một quá trình không hề đơn giản. Phương trình bậc 4 khó hơn một chút, nhưng bước nhảy về sự khó khăn từ bậc 2 lên bậc 3 sẽ giúp bạn nhảy từ bậc 3 lên bậc 4.
Rất may mắn là sau khi bạn hiểu bậc 3 rồi thì bạn sẽ hiểu được bậc 4, tuy bậc 4 cũng vẫn lại là một câu chuyện khác. Nhưng dù có như vậy, thì bạn cũng nhận thấy được một điều là, hóa ra một câu hỏi được đặt ra từ thời Hy Lạp cổ đại là “làm thế nào để giải được phương trình một biến bằng căn thức” mà mãi tới thế kỷ 19 vẫn chưa được hiểu thấu đáo.

Nghe qua thì có vẻ là ai cũng hiểu cách phát biểu của bài toán, nhưng tóm lại thì chẳng hạn cho phương trình bậc 3 có dạng , làm sao để tìm được công thức tính nghiệm , tức là một biểu thức phụ thuộc vào a,b,c mà chỉ chứa các phép tính số học cộng trừ nhân chia và căn thức. Thế thì đây là một câu hỏi có vẻ chính xác, là “có làm được hay không”. Nhưng mà bạn hãy nghĩ kĩ mà xem, làm sao để phát biểu một cách rành rọt, thế nào là viết công thức bằng căn thức, thế nào là “tồn tại một công thức nào đó”. Nhưng như thế thì nghe có vẻ rất trừu tượng, thế nào là tồn tại một công thức nào đó. Đấy là cái khó khăn thuộc về sự “không rõ ràng về mặt phát biểu”. Nghe về mặt trực quan thì có vẻ rõ ràng, là tìm một công thức, ừ thì tìm một công thức, nhưng công thức là như thế nào, một công thức gồm các phép cộng trừ nhân chia và căn, nhưng như thế là như thế nào, ta vẫn cảm thấy áy náy vì ta không biết chính xác ta muốn cái gì.

Cái khó khăn thứ hai, là ẩn số ở đây là gì. Bạn nói ẩn là , nhưng bạn biết phương trình bậc 3 có tất cả ba nghiệm, như vậy bạn muốn viết công thức cho nghiệm nào? Không nhẽ lại mỗi công thức là một nghiệm? Mỗi công thức chỉ có thể cho ra một nghiệm, làm sao có công thức nào cho ba nghiệm một lúc? Trong trường hợp bậc 2, may mắn là ta còn có dấu , khi đó thế các giá trị của hệ số vào bạn sẽ nhận được đủ hai nghiệm cần tìm. Nhưng trong trường hợp bậc 3 thì làm sao để có một biểu thức mà thế các giá trị của hệ số vào mà bạn lại nhận được đúng ba nghiệm? Nói chung là cũng còn phải áy náy suy nghĩ, làm sao để chỉ ra cả 3 nghiệm cùng một lúc?

Thế thì theo tôi nghĩ, chỉ cần bạn đặt được bằng ấy câu hỏi là bạn đã đặt được một chân vào “lý thuyết Galois”. Khi mà bạn hiểu được thế nào là công thức viết được bởi các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, là bạn đã đến được với khái niệm “trường” (field), trường là một tập hợp nào đó mà trong ấy bạn cộng trừ nhân chia thoải mái. Thế còn thêm cái căn thức vào nữa, thì bạn đã tới với khái niệm “mở rộng trường”. Hai khái niệm trường và mở rộng trường xuất hiện một cách gần như là tự nhiên nếu bạn muốn giải thích một cách rành rọt thế nào là viết một công thức tính nghiệm của một phương trình, hay một dạng biểu thức bao gồm các phép toán cộng trừ nhân chia và có căn thức.

Thế còn về câu hỏi thứ hai về việc công thức tính nghiệm sẽ cho biết nghiệm nào thì sao? Chẳng hạn đối với phương trình bậc ba, thì bạn sẽ muốn có công thức của nghiệm nào trong tất cả ba nghiệm. Thế thì khi đặt ra được câu hỏi đó, bạn đã tới được với câu hỏi mà theo tôi nghĩ chính nó đã làm nên sự xuất chúng của Galois. Ở đây, chúng ta không phân biệt được các nghiệm là bởi vì trong các nghiệm có sự đối xứng, chúng ta có các phép thế nghiệm này vào nghiệm kia, tập hợp những cách thế nghiệm khác nhau đó chính là cái mà ngày nay chúng ta gọi là “nhóm Galois”. Sự mập mờ về việc thậm chí ta còn không biết rằng mình muốn có nghiệm nào cần được định rõ bằng việc hiểu một khái niệm không dễ, là nhóm Galois. Rõ ràng bạn không biết chọn nghiệm nào cho đơn giản, thì không phải vì bạn kém, mà là vì có một khái niệm toán học nấp ở đằng sau, là khái niệm nhóm Galois, mà bạn chưa biết. Nếu bạn biết khái niệm nhóm Galois thì bạn không còn áy náy về việc chọn nghiệm nữa. Hơn nữa, khi đã hiểu về nhóm galois, thì bạn sẽ biết giải phương trình bậc 2,3,4, thậm chí bạn có thể chứng minh phương trình bậc từ 5 trở lên là không giải được bằng căn thức.

Khi Tartaglia tìm ra lời giải phương trình bậc 3, thì người ta nghĩ rằng ông ta rất mẹo mực, vì ông ta biết đổi biến, thế biến, lằng nhằng một hồi thì cũng tìm ra được nghiệm số, sau đó một người học trò của Cardano là Ferrari còn tìm ra những phép thế biến còn phức tạp hơn nữa để giải phương trình bậc 4.

Nhưng ý tôi muốn nói ở đây là, vấn đề không phải là những cái phức tạp đó, mà cái phức tạp đó thực ra lại nằm trong một cấu trúc vô cùng đơn giản, chính là cái chuyện là bạn muốn chọn nghiệm nào, và khái niệm nhóm galois. Một khi bạn hiểu về nhóm galois, thì gần như có một quy trình, một thuật toán để tìm lại tất cả những công thức lằng nhằng đó. Bản thân tôi cũng không nhớ những công thức đó, nhưng tôi có thể sử dụng nhóm galois để tìm lại tất cả những công thức tính nghiệm tường minh của tất cả các phương trình bậc 2,3,4. Thế thì ý của tôi ở đây là những câu hỏi “ẩn số là gì” và “làm sao để loại trừ hoàn toàn những cái mập mờ trong cách phát biểu bài toán” lại là quan trọng. Chúng ta không thể chấp nhận những cái mập mở trong cách phát biểu bài toán được được.

Ở đây, về việc làm sao “hiểu bài toán”, thì còn có một vấn đề cũng rất quan trọng, đó là

Ngữ cảnh của vấn đề là gì?

Chuyện này ít khi xảy ra khi các bạn học toán phổ thông, tức là khi bạn giải các bài toán do giáo viên của các bạn đưa ra. Nhưng khi nghiên cứu khoa học, thì bài toán của các bạn không xuất hiện từ hư vô, mà nó đều được hình thành từ những bối cảnh nào đó. Để có thể thực sự hiểu vấn đề, bạn cần phải hiểu được bối cảnh của nó. Tại sao lại đặt ra vấn đề đó, vấn đề đó giúp giải quyết vấn đề gì khác, nó giúp khoa học tiến bộ như thế nào. Đây là câu hỏi quan trọng. Hoặc một vài chuyện khác, là vấn đề đó sẽ được tổng quát hóa như thế nào, đặc biệt hóa ra sao. Những chuyện này cảm tưởng như là râu ria, nhưng đó thực sự lại là những gợi ý rất quý giá để bạn có thể tiếp tục tới được những bước tiếp theo.

Xây dựng các kịch bản toán học

Bước 2 trong 4 bước giải một bài toán của ông Pólya là lên kế hoạch. Tôi muốn đổi thành “viết một kịch bản”, tức là viết một scenario. Và như vậy bước 3 là thực hiện kế hoạch cũng có nghĩa là chúng ta “diễn kịch bản” đã soạn đó. Về mặt ý nghĩa thì việc thay đổi cách gọi tên này không làm mọi chuyện khác đi, chủ yếu là tôi muốn chuyển sang một ngôn ngữ khác của âm nhạc, kịch nghệ. Tất nhiên có những bài toán hiển nhiên, tức là những trường hợp của những bài toán đã biết, đối với những bài toán đó bạn chỉ cần áp công thức vào là sẽ có lời giải, thế thì ta sẽ không bàn về những bài toán đó. Một loại bài toán khác là những bài toán dễ, bài toán dễ tức là những bài toán mà tương tự với bài toán nào đó đã biết, khi đó bạn chỉ cần áp dụng cùng một phương pháp đã biết theo cách tương tự với bài toán đã biết là bạn sẽ giải được bài toán đang đặt ra. Tương tự là một khái niệm khó định nghĩa, có những bài toán rất tương tự, có những bài toán chỉ hơi tương tự. Nói chung một bài toán là dễ khi bạn dùng lại kịch bản của một lời giải cũ mà vẫn hiệu quả, khi đó bài toán của bạn là không khó. Thế còn bài toán khó thực sự là bài toán mà bạn buộc phải “đóng kịch” với nó, tức là bạn phải chơi với nó. Tôi muốn nói rõ hơn thế nào là viết kịch bản cho một bài toán.

Ta phải tưởng tượng một vở kịch, mà trong đó ta biết điểm ban đầu, điểm xuất phát, chẳng hạn các giả thiết của bài toán, và ta cũng biết điểm kết luận của bài toán, tức là một bài toán mà ta đã hiểu được rồi. Bấy giờ ta cần có một con đường, một kịch bản để đi được từ điểm xuất phát tới điểm kết luận, bạn sẽ phải biết mình sẽ đi trên con đường đó như thế nào?
Thế thì trước hết, để có thể viết được kịch bản tốt, thì ta cần phải biết “các diễn viên là gì?”. Trong một bài toán, sẽ có những tham số, ẩn số, các đại lượng khác nhau, đó rõ ràng là các diễn viên đầu tiên của ta. Hơn nữa, bạn cũng sẽ chính là một diễn viên của vở kịch, bạn sẽ phải trực tiếp tham gia kịch bản để có thể đối thoại cùng các diễn viên khác.

Nhiệm vụ của bạn là phải thuyết phục được tất cả mọi người cùng đi từ điểm xuất phát tới điểm kết luận. Nhưng bạn không phải độc tài, bạn không có quyền bắt , bạn chỉ có quyền chơi theo một luật chơi nào đó. Giữa những diễn viên như tham số, ẩn số rõ ràng, và cả bạn nữa, thì bạn có thể làm gì với các diễn viên khác, và các diễn viên đó có thể làm gì với nhau. Trước khi đưa ra được một kịch bản tốt, bạn cần phải biết rõ những điều như vậy. Hơn nữa, ngoài các diễn viên và các luật chơi, bạn còn cần phải hiểu rõ được các nội lực và ngoại lực. Nội lực và ngoại lực không phải luật chơi, nhưng các diễn viên như tham số, ẩn số, và cả bạn nữa vẫn luôn bị chi phối. Trong toán học, những nội lực và ngoại lực rất rõ ràng. Chẳng hạn, ngoại lực chính là những định lý đã biết, những ví dụ, hiện tượng. Tất nhiên, những người làm chính trị sẽ không thể hiểu được tại sao các định lý lại có thể là những cái lực, nhưng thực sự trong toán học điều này rất rõ ràng.

Các định lý thực sự mạnh sẽ đưa đẩy chúng ta theo một hướng nào đó, trong khi một định lý khác lại dẫn chúng ta tới một đường hướng hoàn toàn khác. Thế thì tất nhiên lúc đầu bạn sẽ không thể hiểu được cuộc chơi đó sẽ diễn ra như thế nào, nhưng bạn phải hiểu được có những định lý nào có thể tham gia chi phối cuộc chơi. Ví dụ khi bạn làm một bài toán nào đó trong giải tích, chẳng hạn “tồn tại một cái hàm nào đó thỏa mãn một tính chất gì đấy”, bạn sẽ phải lập tức lưu tâm tới “định lý giá trị trung gian” (Mean Value Theorem), định lý này chắc chắn sẽ “ủn” bài toán của bạn theo một hướng nào đó rõ ràng. Đó là câu chuyện về lực. Đó chính là tất cả các thành tố tham gia cuộc chơi:

Các diễn viên: các tham số, các ẩn số
Các luật chơi: mối quan hệ giữa các diễn viên
Các nội và ngoại lực: các định lý, hiện tượng, các ví dụ

Bây giờ, khi tham gia cuộc chơi, bạn sẽ cho tất cả các diễn viên một kịch bản, sau đó bạn sẽ cố gắng dẫn dắt tất cả tới với điểm kết luận. Nhưng bây giờ bạn không còn rảnh tay muốn làm gì thì làm. Bạn phải suy nghĩ về việc kịch bản đó sẽ thành công hay thất bại. Tất nhiên một kịch bản có thể thành công hay thất bạn, nhưng bạn phải nghĩ trước để làm sao để kịch bản của bạn có khả năng thành công cao nhất. Trước hết là bạn phải tin vào sự thành công, nếu không có sự tin tưởng, thì bạn không nên bắt đầu làm gì. Thế thì khi bạn viết kịch bản, thì về mặt tâm lý, bạn phải chọn lựa sự lạc quan.

Nguyên tắc thứ nhất: chọn lựa sự lạc quan.

Lạc quan theo nghĩa là gì? Giả sử rằng khi bạn đã bắt đầu với một bài toán hoặc một vấn đề nào đấy, sau khi bạn đã hiểu một cách cặn kẽ những điểm khó khăn, đâu là những trường hợp đặc biệt, đâu là những cản trở chủ yếu trên con đường đến với điểm kết luận, bạn sẽ làm gì? Tất nhiên, trong số các khó khăn, bạn có thể cảm nhận được đâu là khó khăn chính, đâu là khó khăn phụ. Đối với một bài toán khó, sẽ có vô vàn khó khăn. Thế thì phương án lạc quan chỉ đơn thuần là phương án mà bạn phân biệt đâu là khó khăn chính, đâu là khó khăn phụ, và bạn trước hết hãy loại bỏ tất cả các khó khăn phụ đi, bạn coi như những khó khăn phụ là không tồn tại, bạn hãy xây dựng một kịch bản mà trong đó các khó khăn phụ thực sự chỉ là khó khăn phụ, và chỉ nhằm vào việc giải quyết các khó khăn chính.
Bây giờ ta phải đi vào việc diễn kịch bản, khi diễn kịch bản, ta phải lật ngược vấn đề, tức là phải biết “bi quan”. Tức là ta phải lật ngược các giả thiết hoàn toàn, tức là ta phải lường trước tất cả những tình huống xấu nhất có thể xảy ra. Ta phải thực hiện lời giải đó với những giả thiết xấu nhất, và làm sao để lời giải đó vẫn vững vàng để có thể đi đến đích. Thế thì đấy là toàn bộ những quan điểm của tôi về việc “viết kịch bản” và “diễn kịch bản”.

Nguyên tắc thứ hai: cố gắng thực hiện kịch bản trong tình huống xấu nhất.

Tới đây, thì càng đi vào phân tích chi tiết, tôi càng có nhiều sự chủ quan, hơi hình tượng hóa quá mức và không còn thực tế, nhưng có một điểm rất quan trọng mà tôi muốn chia sẻ cùng các bạn. Đó là đối với các bài toán khó, thì điểm khó nhất là, trong số các diễn viên sẽ luôn có “các diễn viên ẩn mình”, mình không biết trước, các diễn viên đó hoàn toàn không xuất hiện trong cách phát biểu bài toán, không nằm trong các tham số, không nằm trong các ẩn số, mà nó nằm ở đâu đó ta hoàn toàn không biết, nhưng lại chi phối hoàn toàn sự vận động của vở kịch. Như vậy, khi bạn thất bại một vài lần, bạn đã diễn vở kịch đó đôi ba lần, thì bạn phải cảm nhận được sự ẩn mình của các diễn viên nào đó mà bạn chưa nhận ra. Bạn phải tìm ra những diễn viên ẩn mình đó và thêm vào trong vở kịch của mình.

Nguyên tắc thứ ba: tìm ra các “diễn viên ẩn mình”.

Trong toán học, thì các diễn viên ẩn mình thường là các “cấu trúc toán học”, những cái cấu trúc mà bình thường thì bạn thấy nó rất khô khan, vô bổ, nhưng cấu trúc là những thứ mà trong các vở kịch, thì nó lại chi phối sự vận động cũng như diễn tiến của toán học. Thế thì khi bạn tìm kiếm lời giải của một vấn đề, và đã thất bại trong việc thực thi các kịch bản, thì bạn cần phải tìm ra các diễn viên ẩn mình, và lúc đó có một lời khuyên quan trọng là, bạn hãy tạm thời quên bài toán của mình đi, và bấy giờ bạn chỉ còn tập trung nghiên cứu về những diễn viên ẩn mình đó. Bạn hãy học và nghiên cứu các diễn viên ẩn đó chỉ vì chính nó thôi, bạn hãy tìm hiểu xem liệu có thể bằng cách nào và tại sao mà các cấu trúc đó lại có thể đưa được cho bạn những ý tưởng tốt để có thể giải quyết được những bài toán khó.

Những bài toán khó khác bài toán dễ ở chỗ là đối với các bài toán dễ thì gần như ngay lập tức chúng ta có thể áp dụng một phương pháp tương tự ở đâu đó để giải quyết xong trong tình huống mới, nhưng đối với những bài toán khó thì chúng ta gần như không thể nhìn ra những sự tương tự như vậy. Bây giờ, khi bạn đã nhận ra các diễn viên ẩn, “danh bạ” những “sự tương tự” (kinh điển) của bạn sẽ trở nên phong phú hơn, khi bạn tìm ra được những định lý mà tưởng chừng như chúng không có liên hệ gì với công việc, với bài toán của bạn, thì lúc này chính các diễn viên ẩn đó cũng đã trở thành diễn viên trong vở kịch của bạn. Việc nghiên cứu các diễn viên ẩn, các cấu trúc ẩn trong bối cảnh nguyên thủy của chúng, chẳng hạn cách mà các diễn viên phụ đó đã từng thành công trong các bài toán khác, là rất quan trọng, vì có thể chính những “motif cũ” đó lại có thể trở thành gợi ý quan trọng cho bạn trong việc “nhận ra” những điểm tương tự mà bạn cần phải có để có thể xử lý được tình huống mới. Đôi khi sự tương tự chỉ là bởi vì giữa bài toán của bạn và các bài toán cũ đều có chung sự tham gia của các diễn viên ẩn mình đó.

Tới lúc này, bạn đã có đủ các diễn viên, cả ẩn lẫn hiển thị, các luật chơi, các nội và ngoại lực, ngoại lực hiển thị, ngoại lực ẩn, thì khả năng giải quyết được bài toán của bạn trở nên thực sự có cơ sở và rõ ràng hơn, tất nhiên là bạn cần phải có một kịch bản hợp lý để đi đến đích.

Chân lý toán học

Bước thứ 4, cũng là bước cuối cùng trong sơ đồ của Pólya là “nhìn lại vấn đề”. Có thể đối với một số người, thì đó có thể là một bước nhàm chán, nhưng đối với tôi thì đó lại là bước đem lại nhiều cái “khoái cảm” nhất khi làm toán. Nếu như ở ba bước đầu tiên, bạn sẽ phải chịu đựng rất nhiều sự ức chế, có rất nhiều áp lực, thì tới đây, bạn đã biết mình đã giải được bài toán rồi, nhưng bạn muốn viết lại lời giải của mình theo một cách hay nhất, đẹp nhất có thể.

Không bao giờ nên bỏ qua bước này. Thứ nhất là chính bởi vì bước này rất thú vị, giờ đây bạn đã có thời gian để ngồi lại và “tỉa tót” lời giải của chính mình. Nhiều khi trong quá trình tìm tòi thực hiện kịch bản, bạn đã làm nhiều điều rất phức tạp, rắc rối, rất có thể bạn đã phải đi đi lại lại rất nhiều lần những bước thừa, hơn nữa, khi chưa biết đường, có thể bạn đã phải đi qua rất nhiều đường vòng, vậy thì ngay lúc này, bạn sẽ có thể loại bỏ tất cả những cái thừa đó, lọc bỏ những cái thừa, bạn sẽ tìm ra con đường ngắn nhất để đi đến gần hơn nữa với chân lý toán học. Đấy cũng chính là điều sẽ giúp bạn có thể giải quyết được các bài toán khác trong tương lai.